Sujet OMSI~12072549991 PDF

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Titre: CHAMPS DE SCALAIRES ET DE VECTEURS

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( x, y , z )

( O, e , e , e )

→

x

∂D

→

y

z

+

•

∂D +

!

"

#

!
•

$

%
"
&

R1

!

R1 ≤ OM ≤ R2 ∂D +

&

!

R2

'

∂S +

→

→

(

)

*

"

A – CHAMP SCALAIRE
DEFINITION
On appelle champ scalaire (ou champ de scalaires) de classe Ck, sur un ouvert U de l’espace , ou du plan P, identifiés à
3

ou à

2

par choix d’un repère ( O, ex , e y , ez ) , toute application f de classe Ck de U dans

(

. On se représentera un

)

champ de scalaire comme l’ensemble des couples M , f( M ) , le scalaire f ( M ) étant attaché au point M de l’espace.
PROPOSITION
On appellera isoscalaire ou surface de niveau (courbe de niveau en dimension 2) d’un champ scalaire f , toute
« surface » d’équation

f ( x, y , z ) = constante .

B - CHAMP DE VECTEURS
DEFINITION
On appelle champ de vecteur de classe Ck, sur un ouvert U de l’espace (respectivement du plan P), toute application

V de classe Ck de U dans l’espace des vecteurs E (respectivement du plan vectoriel P). Si est muni d’un repère, la
donnée d’un champ vectoriel équivaut à celle de trois fonctions scalaires ( P, Q, R ) :

V( M ) = P( M ) ⋅ ex + Q( M ) ⋅ ey + R( M ) ⋅ ez
Dire que V est de classe Ck, c’est dire que P , Q , R le sont.
C - LIGNE DE CHAMP
DEFINITION
Etant donné un champ de vecteurs de classe Ck (
), on appelle ligne de champ une courbe tangente en chacun des
points M du champ de vecteur, orientée dans le sens de ce champ. Les lignes de champ peuvent être réduites à un point,
peuvent être fermées ou non.
On trouve une représentation paramétrique des lignes de champ en résolvant le système différentiel :

dx
= P( x , y , z )
dt
dy
= Q( x , y , z )
dt
dz
= R( x , y , z )
dt
!

D - TUBE DE CHAMP
DEFINITION
C’est l’ensemble des lignes de champs s’appuyant sur une courbe fermées de classe C1.

#
A – OPERATEUR GRADIENT
DEFINITION
Si f est différentiable sur U, alors on peut définir un champ de vecteur sur U :

grad ( f ) = ∇ f =

Les coordonnées CARTESIENNES du gradient sont

On note l’opérateur NABLA :

∇=

M → grad ( f M ) .
∂f ∂f ∂f
; ;
.
∂x ∂y ∂z

∂
∂
∂
⋅ ex + ⋅ ey + ⋅ ez
∂x
∂y
∂z

REMARQUE
Si les dérivées partielles de f existent, mais f non différentiable, le gradient n’existe pas
B – DERIVEE DIRECTIONNELLE
DEFINITION
SI f est un champ scalaire de classe Ck (
vecteur unitaire

), on appelle dérivée directionnelle de f au point M , dans la direction du

u , la quantité : d f M ( u ) = grad ( f ) ⋅ u .
C – CALCUL DU GRADIENT EN CYLINDRIQUE

L’espace est muni des coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) et cylindriques ( r , θ , z ) , pour une fonction quelconque

f ( x, y , z ) = F ( r , θ , z )

:

( )

∂OM
∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z ∂F
=
+
+
=
∂r
∂x ∂r ∂y ∂r ∂z ∂r ∂r

( )

1 ∂OM
1 ∂F
=
r ∂θ
r ∂θ

( )

∂OM
∂F
=
∂z
∂z

grad ( f ) ⋅ er = d f M er = d f M
grad ( f ) ⋅ eθ = d f M eθ = d f M
grad ( f ) ⋅ ez = d f M ez = d f M

grad ( f ) =

∂F
1 ∂F
∂F
⋅ er +
⋅ eθ +
⋅ ez
∂r
r ∂θ
∂z

D – PROPRIETES DU GRADIENT
→ Le GRADIENT en tout point M est normal à l’isoscalaire contenant M
→ SI f est un champ scalaire de classe Ck (
→

),

grad ( f ) est un champ vectoriel de classe Ck-1

grad ( f ) est un opérateur linéaire : grad ( f + λ ⋅ g ) = grad ( f ) + λ ⋅ grad ( g )

→ Dans le cas où un champ

V = − grad ( Φ ) = grad ( −Φ ) (où Φ est un champ scalaire de classe Ck (

)), on dit

que V dérive d’un potentiel scalaire. A noter que le signe « – » est dû à une convention physique.

!

→ Si un champ V de classe Ck (

) sur un ouvert U simplement connexe est associé à

fermée, alors V dérive d’un potentiel scalaire

forme différentielle

Φ:

V ( M ) = P ( M ) ⋅ ex + Q( M ) ⋅ ey + R ( M ) ⋅ ez et ( P, Q, R ) de classe Ck (
∂P ∂Q
=
∂y ∂x
∂Q ∂R
=
∂z ∂y
∂R ∂P
=
∂x ∂z

ω

) sur U (simplement connexe) vérifie :

Penser au Théoreme de Poincaré ou l'égalité des dérivées partielles croisées
R
P
P Q
∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P
=
;
=
;
=
x y
z
x ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z

alors pour trouver le potentiel scalaire, on pourra écrire : P = −

∂Φ
∂Φ
∂Φ
,Q = −
,R = −
∂x
∂y
∂z

$

#

DEFINITION

Γ (courbe paramétrée), l’intégrale :
B
dOM
V ( M ) ⋅ dM = V ( M ) ⋅τ ⋅ dl = V( x( t ) , y( t ) , z( t ) ) ⋅
⋅ dt = P( x( t ) , y( t ) , z( t ) ) ⋅ x(′t ) + Q( x( t ) , y( t ) , z( t ) ) ⋅ y(′t ) + R( x( t ) , y( t ) , z( t ) ) ⋅ z(′t ) ⋅ dt
dt
A
A
Γ
Γ

On appelle circulation ou travail de V sur
B

REMARQUE
→ Soit le champ

(

)

V = ( P, Q, R ) associé à la forme différentielle ω = P( x, y , z ) ⋅ dx + Q( x, y , z ) ⋅ dy + R( x, y , z ) ⋅ dz de classe C1,

la circulation de V est exactement ce que l’on appelle l’intégrale curviligne de

ω( M
Γ

→ Si

(t ) )

⋅

ω

le long de

Γ soit

dOM
⋅ dt notée encore ω ou P ⋅ dx + Q ⋅ dy + R ⋅ dz
dt
Γ
Γ

Γ fermée, alors γ ( a ) = γ (b ) et on note alors

Γ

→ Dans le cas où V dérive d’un potentiel scalaire

ω.

Φ : V = − grad ( Φ ) = grad ( −Φ ) , la circulation de V ne dépend
V ( M ) ⋅ dM = Φ ( A) − Φ ( B ) .

pas du chemin suivi mais des points d’arrivées et de départ
Γ

"

%

DEFINITION
On appelle FLUX DU CHAMP V continu à travers la surface orientée l’intégrale double :

Φ=

D

V (M ) ⋅

∂OM ∂OM
∧
⋅ du ⋅ dv =
∂u
∂v

Ou n est un vecteur unitaire, normé à la surface :

n=

D

V ( M ) ⋅ n ⋅ dS

∂OM ∂OM
∧
∂u
∂v
∂OM ∂OM
∧
∂u
∂v

!

"

$

&

A – OPERATEUR DIVERGENCE
DEFINITION
On note la DIVERGENCE du champ de vecteurs

( )

V = ( P, Q, R ) par : div V =

∂P ∂Q ∂R
+
+
= ∇ ⋅ V . La divergence d’un
∂x ∂y ∂z

champ de vecteur est un scalaire.
REMARQUE

(

)

( )

( )

div W + λ ⋅V = div W + λ ⋅ div V .

→ L’OPERATEUR DIVERGENCE est un opérateur Linéaire :

→ L’OPERATEUR DIVERGENCE caractérise une source (respectivement un puits) lorsqu’il est positif (respectivement
négatif).
B – FORMULE D’OSTROGRAGSKY
Soient D un domaine de l’espace limité par des nappes de classe C1, V un champ de vecteurs de classe C1 sur D :

V( M ) ⋅ n ⋅ dS =

( )

div V ⋅ dx ⋅ dy ⋅ dz

∂D +

D

"

&

A – FORMULE DE GREEN-RIEMANN
Soient, D un domaine plan limité par des arcs de cercle C1, V = ( P, Q ) un champ de classe C1 sur D, alors :

∂Q ∂P
−
⋅ dx ⋅ dy
∂x ∂y

P ⋅ dx + Q ⋅ dy =
∂D +

D

B – OPERATEUR ROTATIONNEL
DEFINITION

Soient V = ( P, Q, R ) un champ de classe C1 sur un ouvert U contenant la nappe, on définit le champ de vecteurs
nommé ROTATIONNEL ou ROTATIONNEL DU CHAMP DE VECTEURS V :

( )

rot V = ∇ ∧ V =

∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
−
⋅ ex +
−
⋅ ey +
−
⋅ ez
∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y

PROPRIETE
L’OPERATEUR ROTATIONNEL est un opérateur linéaire:

(

)

( )

( )

rot W + λ ⋅V = rot W + λ ⋅ rot V .

B – FORMULE DE STOCKES
La FORMULE DE GREEN-RIEMANN se généralise de la façon suivante : Soit S une surface orientée de
de dimension 3, ∂S

+

euclidien orientée

son bord orienté, et V un champ de classe C sur S. Alors la circulation de V sur ∂S

flux du rotationnel de ∂S

1

+

à travers S :
∂S +

V ( M ) ⋅ d OM =

+

( )

rot V ⋅ n ⋅ dS
S

!

est égale au

'
Soit f un champ scalaire de classe C2 sur un ouvert U. On appelle laplacien de f la quantité (EN
CARTESIENNE) :
2
∂2 f ∂2 f ∂2 f
∆f = 2 + 2 + 2 ; On pourra aussi noter L’OPERATEUR LAPLACIEN : ∆f = div grad ( f ) = ∇ ⋅∇ f = ∇ f
∂x
∂y
∂z

(

)

( ( )) − rot ( rot (V ))

Soit V = ( P, Q, R ) , un champ de classe C2, on pose ∆V = grad div V

Si f un champ scalaire et V un champ de vecteurs, tous deux de classe C2, il en résulte du théorème de

(

Schwarz que rot grad ( f

)) = 0

( ( )) = 0

( )

∇ ∧ ∇ f = 0 et

et div rot V

(

)

∇ ⋅ ∇ ∧V = 0

"

A – CHAMPS A CIRCULATION CONSERVATIVE
DEFINITION
On dit qu’un champ V est à circulation conservative, si sa circulation le long de toute courbe fermée est nulle
THEOREME
→ Si un champ de classe C1 est à circulation conservative, son rotationnel est nul.
→ Réciproquement, si D est un domaine simplement connexe, toute courbe fermée est le bord d’une surface contenue
dans D, donc, en utilisant le théorème de Stockes : Si V est de classe C1, si rot

(V ) = 0 , et si le domaine est

simplement connexe, alors V est à circulation conservative.
B - POTENTIEL SCALAIRE
RAPPEL

Dire que V = ( P, Q, R ) , de classe C1, est à rotationnel nul, c’est dire que
différentielle fermée. Si de plus U est simplement connexe, alors

ω = −d Φ . Cela équivaut à dire que V = − grad ( Φ ) , V

ω = P ⋅ dx + Q ⋅ dy + R ⋅ dz est une forme

ω est exacte d’après le théorème de Poincaré, d’où:

dérive d’un potentiel scalaire.

THEOREME
Tout champ de classe C1, à rotationnel nul, sur un ouvert simplement connexe, dérive d’un potentiel scalaire.
C – CHAMPS A FLUX CONSERVATIF
DEFINITION
On dit qu’un champ V est à flux conservatif, si son flux à travers toute surface fermée orientable est nul.
THEOREME
→ Si un champ de classe C1 est à flux conservatif, alors sa divergence est nulle.
→ Si V est un champ de classe C1, à divergence nulle sur un ouvert U asphérique, alors V est à flux conservatif.
→ Le flux d’un champ à flux conservatif est le même à travers toute surface orientée admettant une courbe fermée
donnée pour bord orientée.
D – POTENTIEL VECTEUR
DEFINITION
Soit un champ V un champ de vecteur. S’il existe un champ de vecteurs A de classe C1, tel que V

( )

= rot A , on dit

que V dérive du potentiel vecteur A .
!

THEOREME
→ Si un champ V de classe C1 sur un ouvert U asphérique est à divergence nulle, il dérive d’un potentiel vecteur

( )

V = rot A .
→ Le flux de V à travers toute surface orientée est égale à la circulation du potentiel vecteur le long du bord orienté.
+

"

f( x , y , z )
f( x, y ) = F( r ,θ )
(

f( x , y , z ) = F( r ,θ , z )
(

f( x , y , z ) = F( r ,θ ,ϕ )

V = Vx ⋅ ex + Vy ⋅ ey + Vz ⋅ ez

V = Vr ⋅ er + Vθ ⋅ eθ
(

V = Vr ⋅ er + Vθ ⋅ eθ + Vz ⋅ ez
(

V = Vr ⋅ er + Vθ ⋅ eθ + Vϕ ⋅ eϕ

V = Vx ⋅ ex + Vy ⋅ ey + Vz ⋅ ez

V = Vr ⋅ er + Vθ ⋅ eθ
(

V = Vr ⋅ er + Vθ ⋅ eθ + Vz ⋅ ez
(

V = Vr ⋅ er + Vθ ⋅ eθ + Vϕ ⋅ eϕ

∇ f = grad ( f ) =

∂f
∂f
∂f
⋅ e x + ⋅ e y + ⋅ ez
∂x
∂y
∂z

∇ f = grad ( f ) =

∂F
1 ∂F
⋅ er +
⋅ eθ
∂r
r ∂θ

!

,

-

.

/ 0

∂F
1 ∂F
∂F
⋅ er +
⋅ eθ +
⋅ ez
∂r
r ∂θ
∂z
∂F
1 ∂F
1
∂F
∇ f = grad ( f ) =
⋅ er +
⋅ eθ +
⋅ eϕ
∂r
r ∂θ
r ⋅ sin (θ ) ∂ϕ
∇ f = grad ( f ) =

( )

div V = ∇ ⋅V =

∂Vx ∂Vy ∂Vz
+
+
∂x
∂y
∂z

1 ∂ ( r ⋅ Vr ) 1 ∂ (Vθ )
+
r ∂r
r ∂θ
1 ∂ ( r ⋅ Vr ) 1 ∂ (Vθ ) ∂ (Vz )
div V = ∇ ⋅ V =
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z

( )

div V = ∇ ⋅ V =

( )

2
∂ (Vϕ )
∂ (Vθ ⋅ sin (θ ) )
1 ∂ ( r ⋅Vr )
1
1
+
+
div V = ∇ ⋅V = 2
r
∂r
r ⋅ sin (θ )
∂θ
r ⋅ sin (θ ) ∂ϕ

( )

( )

( )

∂Vy ∂Vx
∂Vx ∂Vz
∂Vz ∂Vy
−
⋅ ex +
−
⋅ ey +
−
⋅ ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y

( )

( )

1 ∂Vz ∂Vθ
∂Vr ∂Vz
−
⋅ er +
−
⋅ eθ
r ∂θ
∂z
∂z
∂r

( )

( )

∂Vr ∂Vz
1 ∂Vz ∂Vθ
1 ∂ ( r ⋅ Vθ ) ∂Vr
−
⋅ er +
−
⋅ eθ +
−
⋅ ez
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
∂r
∂θ

( )

( )

rot V = ∇ ∧ V =
rot V = ∇ ∧ V =

rot V = ∇ ∧ V =
rot V = ∇ ∧ V =

∂ ( sin (θ ) ⋅ Vϕ ) ∂Vθ
1
−
⋅ er
r ⋅ sin (θ )
∂θ
∂ϕ
+

∂Vr 1 ∂ ( r ⋅ Vϕ ) 1 ∂ ( r ⋅ Vθ ) ∂Vr
1
−
+
−
⋅ eϕ
r ⋅ sin (θ ) ∂ϕ r
∂r
r
∂r
∂θ

!

2

f( x , y , z )

∆f = ∇ f =
2

f( x, y ) = F( r ,θ )

∆f = ∇ f =

f( x , y , z ) = F( r ,θ , z )

∆f = ∇ f =

f( x , y , z ) = F( r ,θ ,ϕ )

∆f = ∇ f =

(

(

2

2

∂2 f ∂2 f ∂2 f
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
1 ∂
∂F
∂ 1 ∂F
r⋅
+
r ∂r
∂r
∂θ r ∂θ
1 ∂
∂F
∂ 1 ∂F
∂
∂F
r⋅
+
+
r⋅
r ∂r
∂r
∂θ r ∂θ
∂z
∂z

1
∂ 2
∂F
∂
∂F
∂
1 ∂F
sin (θ ) ⋅
r ⋅ sin (θ ) ⋅
+
+
r ⋅ sin (θ ) ∂r
∂r
∂θ
∂θ
∂ϕ sin (θ ) ∂ϕ
2

%
%

'

"

"

grad ( f ⋅ g ) = f ⋅ grad ( g ) + g ⋅ grad ( f )
∆ ( f ⋅ g ) = f ⋅ ∆ ( g ) + 2 ⋅ grad ( f ) ⋅ grad ( g ) + g ⋅ ∆ ( f )

( )
( )
rot ( f ⋅V ) = f ⋅ rot (V ) + grad ( f ) ∧ (V )
div (V ∧ W ) = W ⋅ rot (V ) − V ⋅ rot (W )
rot ( rot (V ) ) = ∇ ∧ ( ∇ ∧ V ) = ∇ ⋅ ( ∇ ⋅V ) − ∇ V = grad ( div ( A) ) − ∆ A
A ∧ ( B ∧ C ) = B ⋅ ( A ⋅ C ) − C ⋅ ( A ⋅ B ) )1
, '
'

div f ⋅V = f ⋅ div V + V ⋅ grad ( f )

2

*

!