Exo corrigé etude de fct (1) PDF

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‫اﻹﺗ‪AO‬ل و اﻹ‪AqtJ‬ق‬
‫‪s:Ð‬ﻌ‪ dy‬أﻣﺠ‪A‬و‪M‬‬
‫ﻣ‪A‬دة‪ :‬اﻟ‪r‬ﻳ‪‹AyRA‬‬

‫اﻟ‪d‬و‪C‬ة اﻷوﻟ‪Y‬‬
‫𝑒‪𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ‬‬

‫اﻟ‪Tns‬‬

‫𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝑏 ‪2‬‬
‫اﻟ‪Cd‬ا‪2019 − 2020 :TyF‬‬

‫ﺗ‪rm‬ﻳﻦ‬
‫ﻟ‪kt‬ﻦ 𝑓 اﻟ‪d‬اﻟ‪ T‬اﻟﻌ‪d‬دﻳ‪ T‬ﻟ‪tml‬ﻐ‪ ry‬اﻟﺤ‪qyq‬ﻲ 𝑥 اﻟ‪m‬ﻌ‪r‬ﻓ‪ T‬ﺑ‪ Am‬ﻳ‪l‬ﻲ ‪:‬‬
‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫︂√‬
‫‪𝑓 (𝑥) = −𝑥 +‬‬

‫وﻟ‪ky‬ﻦ ) 𝑓𝐶( ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻓﻲ ﻣﻌ‪l‬ﻢ ﻣ‪t‬ﻌ‪A‬ﻣ‪ d‬ﻣ‪\nm‬ﻢ‪.‬‬
‫‪ (1‬ﺣ‪d‬د ﻣﺠ‪wm‬ﻋ‪ T‬ﺗﻌ‪r‬ﻳﻒ اﻟ‪d‬اﻟ‪.𝐷𝑓 T‬‬
‫‪ (2‬أﺣ‪s‬ﺐ ﻧ‪Ah‬ﻳ‪ T‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ymy‬ﻦ ﻓﻲ اﻟ‪› 1 TWqn‬ﻢ أول اﻟ‪ytn‬ﺠ‪ T‬ﻫ‪.AyFdn‬‬
‫∞‪. 𝑥→−‬‬
‫‪ (3‬أﺣ‪s‬ﺐ اﻟ‪Ahn‬ﻳ‪yt‬ﻦ )𝑥( 𝑓 ‪ lim‬و )𝑥( 𝑓 ‪lim‬‬
‫∞‪𝑥→+‬‬

‫𝐴‬
‫𝑚‬
‫𝑎𝑗‬
‫𝑢𝑜‬

‫‪𝑐ℎ‬‬

‫‪ (4‬أد‪ xC‬ﻗ‪A‬ﺑ‪ Tyl‬ا‪AqtJ‬ق اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻋ‪ Yl‬اﻟ‪ CAsy‬ﻓﻲ اﻟ‪› 0 TWqn‬ﻢ أول اﻟ‪ytn‬ﺠ‪ T‬ﻫ‪.AyFdn‬‬
‫‪ (5‬أ‪ -‬أﺣ‪s‬ﺐ )𝑥( ‪ 𝑓 ′‬ﻣ‪ TqtK‬اﻟ‪d‬اﻟ‪.𝑓 T‬‬
‫‪(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 − {0}) 𝑓 ′ (𝑥) < 0‬‬
‫ب‪ -‬ﺗﺤ‪q‬ﻖ ﻣﻦ أن ‪:‬‬
‫—‪R -‬ﻊ ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪.𝑓 T‬‬
‫‪ (6‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻳ‪bq‬ﻞ ﻣ‪CAq‬ﺑ‪ A‬ﻣ‪A‬ﺋﻼ ﺑﺠ‪w‬ا‪ +∞ C‬و ∞‪ −‬ﻣﻌ‪A‬دﻟ‪t‬ﻪ ‪.𝑦 = −𝑥 + 1‬‬
‫ب‪ -‬اﻧ‪YK‬ء ) 𝑓𝐶(‪( .‬ﻧﺄﺧ@ )‪)𝑓 (1, 6 ≈ 0‬‬

‫واﻟ‪l‬ﻪ وﻟﻲ اﻟ‪wt‬ﻓ‪y‬ﻖ‬

‫‪𝑓.‬‬
‫𝑜𝑟‬
‫𝑃‬

2 𝑏𝑎𝑐 𝑃 𝐶 𝑒𝑡 𝑆𝑉 𝑇
2019 − 2020 :TyF‫ا‬Cd‫اﻟ‬

‫ق‬AqtJ‫ل و اﻹ‬AO‫اﻹﺗ‬
M‫و‬A‫ أﻣﺠ‬dy‫ﻌ‬s:Ð
‹AyRA‫ﻳ‬r‫ اﻟ‬:‫دة‬A‫ﻣ‬

Y‫ة اﻷوﻟ‬C‫و‬d‫اﻟ‬

Tns‫اﻟ‬

𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑒

‫ح‬rtq‫ﺢ ﻣ‬y‫ﺤ‬O‫ﺗ‬
: ‫ﻲ‬l‫ ﻳ‬Am‫ ﺑ‬T‫ﻓ‬r‫ﻌ‬m‫ﻲ 𝑥 اﻟ‬qyq‫ اﻟﺤ‬ry‫ﻐ‬tml‫ ﻟ‬T‫دﻳ‬d‫ اﻟﻌ‬T‫اﻟ‬d‫ﻦ 𝑓 اﻟ‬kt‫ﻟ‬
√︂
𝑓 (𝑥) = −𝑥 +

𝑥
𝑥−1

.‫\ﻢ‬nm‫ ﻣ‬d‫ﻣ‬A‫ﻌ‬t‫ﻢ ﻣ‬l‫ 𝑓 ﻓﻲ ﻣﻌ‬T‫اﻟ‬d‫ اﻟ‬Yn‫ﺤ‬n‫ﻦ ) 𝑓𝐶( ﻣ‬ky‫وﻟ‬
. T‫اﻟ‬d‫ﻳﻒ اﻟ‬r‫ ﺗﻌ‬T‫ﻋ‬wm‫د ﻣﺠ‬d‫( ﺣ‬1
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ R/

𝑥

≥ 0 𝑒𝑡 𝑥 − 1 ̸= 0}

𝑥−1

𝑥

:
0
−

0

𝑥−1

−

−

+

0

𝑥
𝑥−1

+

+
+

0
−

𝐴
𝑚
𝑗𝑎
𝑜𝑢

𝑥

+∞

1

𝑐ℎ

−∞

‫ة‬CAJ‫ول إ‬d‫ﻦ ﺑﺠ‬y‫ﻌ‬ts‫ﻧ‬

𝑥−1

+

𝐷𝑓 =] − ∞; 0]∪]1; +∞[

: ‫ﻟﻲ‬At‫ﻟ‬A‫وﺑ‬

.AyFdn‫ ﻫ‬T‫ﺠ‬ytn‫ ›ﻢ أول اﻟ‬1 TWqn‫ﻦ ﻓﻲ اﻟ‬ymy‫ اﻟ‬Yl‫ 𝑓 ﻋ‬T‫اﻟ‬d‫ اﻟ‬T‫ﻳ‬Ah‫ﺐ ﻧ‬s‫( أﺣ‬2
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +

𝑥→1+

𝑥
𝑥−1

𝑥→1+

= +∞

= +∞)
𝑥−1
lim 𝑓 (𝑥) = +∞ ‫ أن‬Am‫ﺑ‬
𝑥→1+

: ‫ﻲ‬Fdn‫ﺗﺄوﻳﻞ ﻫ‬
.𝑥=1
. 𝑥→−∞
lim 𝑓 (𝑥) ‫ و‬lim 𝑓 (𝑥) ‫ﻦ‬yt‫ﻳ‬Ahn‫ﺐ اﻟ‬s‫( أﺣ‬3
𝑥→+∞

𝑥→1+

𝑃

𝑟𝑜

‫ﻪ‬t‫دﻟ‬A‫ﻲ) ﻣﻌ‬F‫أ‬C( ‫دي‬wm‫ب ﻋ‬CAq‫ﻞ ﻣ‬bq‫ﻓﺈن ) 𝑓𝐶( ﻳ‬

√︂
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +

𝑥→−∞

√︂
𝑥→+∞

𝑥→+∞

= lim −𝑥 +

𝑥−1

𝑥→−∞

lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +

√︃

𝑥

1
1−

𝑥→−∞

√︃

𝑥

= lim −𝑥 +

𝑥−1

𝑥

(𝑐𝑎𝑟 lim

𝑓.

√︂

𝑥→+∞

1
𝑥

1
1−

1
𝑥

= +∞
= −∞

.AyFdn‫ ﻫ‬T‫ﺠ‬ytn‫ ›ﻢ أول اﻟ‬0 TWqn‫ ﻓﻲ اﻟ‬CAsy‫ اﻟ‬Yl‫ 𝑓 ﻋ‬T‫اﻟ‬d‫ق اﻟ‬AqtJ‫ ا‬Tyl‫ﺑ‬A‫ ﻗ‬xC‫( أد‬4
lim

𝑥→0−

𝑓 (𝑥) − 𝑓 (0)
𝑥−0
√︁

√︁
−𝑥 +
= lim

𝑥→0−

𝑥
𝑥−1

= lim −1+ √
= lim −1−
𝑥→0−
𝑥→0−
− 𝑥2

𝑥
𝑥−1

𝑥
√︂

−0

−𝑥 +
= lim

𝑥→0−

𝑥

𝑥2 (𝑥 − 1)

√︁

𝑥
𝑥−1

𝑥

𝑥→0−

√

= lim

𝑥→0−

√︃
= lim −1−

√︁

1
𝑥2 − 𝑥

−𝑥
𝑥

+
√︂

= −1−

𝑥
𝑥−1

𝑥
1
0+

= −∞

) 𝑥 = − 𝑥2 ‫ < 𝑥 ﻓﺈن‬0 ‫ن‬A‫ا ﻛ‬Ð‫ إ‬: T\‫(ﻣﻼﺣ‬
‫دي‬wm‫ ﻋ‬xAm‫ﻒ ﻣ‬O‫ﻞ ﻧ‬bq‫ و ) 𝑓𝐶( ﻳ‬0 ‫ ﻓﻲ‬CAsy‫ اﻟ‬Yl‫ق ﻋ‬AqtJ‫ ﻟﻺ‬Tl‫ﺑ‬A‫ ﻗ‬ry‫ 𝑓 ﻏ‬T‫اﻟ‬d‫ﻟﻲ ﻓﺈن اﻟ‬At‫ﻟ‬A‫وﺑ‬
.Yl‫ اﻷﻋ‬w‫ﺟﻪ ﻧﺤ‬w‫ﻣ‬

‫اﻹﺗ‪AO‬ل و اﻹ‪AqtJ‬ق‬
‫‪s:Ð‬ﻌ‪ dy‬أﻣﺠ‪A‬و‪M‬‬
‫ﻣ‪A‬دة‪ :‬اﻟ‪r‬ﻳ‪‹AyRA‬‬

‫اﻟ‪d‬و‪C‬ة اﻷوﻟ‪Y‬‬

‫اﻟ‪Tns‬‬

‫𝑒‪𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ‬‬

‫𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝑏 ‪2‬‬
‫اﻟ‪Cd‬ا‪2019 − 2020 :TyF‬‬

‫‪ (5‬أ‪ -‬أﺣ‪s‬ﺐ )𝑥( ‪ 𝑓 ′‬ﻣ‪ TqtK‬اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬
‫ﻟ‪ky‬ﻦ 𝑥 ﻣﻦ ‪] − ∞; 0[∪]1; +∞[:‬‬
‫𝑓‪.‬‬

‫‪)︁′‬‬

‫‪−1‬‬
‫‪(𝑥−1)2‬‬

‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫︁(‬

‫‪−1‬‬
‫︁√‬
‫︁√ ‪𝑓 (𝑥) = −1 +‬‬
‫︁√ ‪= −1 +‬‬
‫‪= −1 +‬‬
‫‪.‬‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫𝑥‬
‫‪2 𝑥−1‬‬
‫‪2 𝑥−1‬‬
‫‪2(𝑥 − 1)2 . 𝑥−1‬‬
‫‪−1‬‬

‫وﺑ‪A‬ﻟ‪At‬ﻟﻲ ‪:‬‬
‫ب‪-‬‬

‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫︁√‬

‫‪𝑓 ′ (𝑥) = −1 +‬‬

‫‪′‬‬

‫‪∀𝑥 ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[ :‬‬

‫‪2(𝑥 − 1)2 .‬‬

‫‪(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 − {0}) 𝑓 ′ (𝑥) < 0‬‬
‫ﺗﺤ‪q‬ﻖ ﻣﻦ أن ‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫︁√‬
‫‪𝑓 ′ (𝑥) = −1 +‬‬
‫ﻟ‪k‬ﻞ 𝑥 ﻣﻦ [∞‪ ] − ∞; 0[∪]1; +‬ﻟ‪d‬ﻳ‪: An‬‬
‫𝑥‬
‫‪2(𝑥 − 1)2 . 𝑥−1‬‬
‫︂√‬
‫‪−1‬‬
‫𝑥‬
‫‪2‬‬
‫︁√‬
‫وﺑ‪ Am‬أن ‪ −1 < 0‬ﻓﺈن ‪:‬‬
‫‪ 2(𝑥 − 1) .‬إ‪Ð‬ن ‪< 0‬‬
‫‪>0‬‬
‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬
‫‪2(𝑥 − 1)2 .‬‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫𝐴‬
‫𝑚‬
‫𝑎𝑗‬
‫𝑢𝑜‬

‫‪𝑐ℎ‬‬

‫‪<0‬‬

‫‪−1‬‬
‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫︁√‬

‫‪𝑓 ′ (𝑥) = −1 +‬‬

‫‪2(𝑥 − 1)2 .‬‬

‫𝑓‪.‬‬

‫—‪R -‬ﻊ ﺟ‪d‬ول ﺗﻐ‪ry‬ا‹ اﻟ‪d‬اﻟ‪T‬‬
‫‪ (∀𝑥 ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[) : 𝑓 (𝑥) < 0‬ﻓﺈن اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﺗ‪An‬ﻗ‪ TyO‬ﻗ‪W‬ﻌ‪ A‬ﻋ‪Yl‬‬
‫ﺑ‪ Am‬أن ‪:‬‬
‫اﻟ‪m‬ﺠ‪A‬ﻟ‪y‬ﻦ [‪ ] − ∞; 0‬و [∞‪. ]1; +‬‬
‫‪′‬‬

‫∞‪+‬‬

‫‪1‬‬

‫∞‪−‬‬

‫‪0‬‬

‫∞‪+‬‬

‫𝑥‬

‫∞‪+‬‬

‫𝑜𝑟‬

‫‪𝑓.‬‬

‫‪𝑉 𝑎𝑟.‬‬
‫𝑓 𝑒𝑑‬

‫∞‪−‬‬

‫‪0‬‬

‫𝑃‬

‫‪ (6‬أ‪ -‬ﺑ‪y‬ﻦ أن ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻳ‪bq‬ﻞ ﻣ‪CAq‬ﺑ‪ A‬ﻣ‪A‬ﺋﻼ ﺑﺠ‪w‬ا‪ +∞ C‬و ∞‪ −‬ﻣﻌ‪A‬دﻟ‪t‬ﻪ‬
‫∞‪. 𝑥→−‬‬
‫ﻣﻦ ﺧﻼل اﻷ‪F‬ﺌ‪ Tl‬اﻟ‪As‬ﺑ‪ Tq‬وﺟ‪d‬ﻧ‪ A‬أن ∞‪ lim 𝑓 (𝑥) = −‬و ∞‪lim 𝑓 (𝑥) = +‬‬
‫∞‪𝑥→+‬‬
‫ﻟﻺﺟ‪A‬ﺑ‪ T‬ﻋﻦ ﻫ@ا‬
‫أو ﻧ‪yb‬ﻦ أن ‪:‬‬

‫‪.𝑦 = −𝑥 + 1‬‬

‫‪lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥 + 1) = 0‬‬
‫اﻟ‪s‬ﺆال ﻳ‪km‬ﻦ أن ﻧ‪yb‬ﻦ أن ‪:‬‬
‫⎧‬
‫)𝑥( 𝑓 ‪⎨ lim‬‬
‫‪= −1‬‬
‫∞→𝑥‬
‫𝑥‬
‫‪⎩ lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥) = 1‬‬

‫∞→𝑥‬

‫∞→𝑥‬

‫ﺑﺠ‪w‬ا‪: +∞ C‬‬
‫‪−1‬‬

‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫︂√‬
‫‪+ 𝑥 − 1 = lim‬‬

‫∞‪𝑥→+‬‬

‫𝑥‬
‫‪𝑥−1‬‬

‫︂√‬
‫‪lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥 + 1) = lim −𝑥 +‬‬
‫∞‪𝑥→+‬‬
‫∞‪𝑥→+‬‬
‫︃√‬
‫‪1‬‬
‫‪= lim‬‬
‫‪−1=1−1= 0‬‬
‫∞‪𝑥→+‬‬
‫‪1 − 𝑥1‬‬

‫إ‪Ð‬ن ﻣ‪n‬ﺤ‪ Yn‬اﻟ‪d‬اﻟ‪ 𝑓 T‬ﻳ‪bq‬ﻞ ﻣ‪CAq‬ﺑ‪ A‬ﻣ‪A‬ﺋﻼ ﺑﺠ‪w‬ا‪ +∞ C‬ﻣﻌ‪A‬دﻟ‪t‬ﻪ‬

‫⋆‬

‫‪.𝑦 = −𝑥 + 1‬‬

2 𝑏𝑎𝑐 𝑃 𝐶 𝑒𝑡 𝑆𝑉 𝑇
2019 − 2020 :TyF‫ا‬Cd‫اﻟ‬

‫ق‬AqtJ‫ل و اﻹ‬AO‫اﻹﺗ‬
M‫و‬A‫ أﻣﺠ‬dy‫ﻌ‬s:Ð
‹AyRA‫ﻳ‬r‫ اﻟ‬:‫دة‬A‫ﻣ‬

Y‫ة اﻷوﻟ‬C‫و‬d‫اﻟ‬

Tns‫اﻟ‬

𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑒

) Ty‫ﻧ‬A“‫ اﻟ‬Tq‫ﻳ‬rW‫ﻒ اﻟ‬yZw‫ح ﺗ‬rtq‫ (ﻧ‬: +∞ C‫ا‬w‫ﺑﺠ‬
lim

𝑥→−∞

𝑥

= lim −1 −
𝑥→−∞

𝑥

𝑥(𝑥 − 1)

√︁
= lim −1 +
𝑥→−∞

√

− 𝑥2

= lim −1 −

𝑥

√︂

𝑥→−∞

𝑥2 (𝑥 − 1)

= −1

√︂
lim 𝑓 (𝑥)−(−1)𝑥 = lim −𝑥+
𝑥→−∞

.𝑦 = −𝑥 + 1

𝑥
𝑥−1

√︂
+𝑥 = lim

𝑥→−∞

𝑥
𝑥−1

√︃
= lim

𝑥→−∞

1
1−

1
𝑥

= 1

‫ﻪ‬t‫دﻟ‬A‫ ﻣﻌ‬−∞ C‫ا‬w‫ﺋﻼ ﺑﺠ‬A‫ ﻣ‬A‫ﺑ‬CAq‫ﻞ ﻣ‬bq‫ 𝑓 ﻳ‬T‫اﻟ‬d‫ اﻟ‬Yn‫ﺤ‬n‫ﻟﻲ ﻣ‬At‫ﻟ‬A‫وﺑ‬

𝐴
𝑚
𝑗𝑎
𝑜𝑢

𝑐ℎ

)𝑓 (1, 6) ≈ 0) @‫ (ﻧﺄﺧ‬.(𝐶𝑓 ) ‫ء‬YK‫ أﻧ‬-‫ب‬

𝑓.

𝑥→−∞

𝑥
𝑥−1

𝑟𝑜

⋆

= lim
𝑥→−∞
√︃
1

𝑥
𝑥−1

𝑃

⋆

𝑓 (𝑥)

−𝑥 +

√︁

‫ﻢ‬k‫ﺋ‬A‫ﻟﺢ دﻋ‬A} ‫ ﻣﻦ‬A‫ﻧ‬wsn‫ﻻ ﺗ‬